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投稿日:2020年06月29日

テーマ: 算数

受験算数のコツ!水そうと棒の問題は順逆自在の術!

 

みなさん、こんにちは。受験ドクターの亀井章三です。

 

6月29日、この中には6と9という上下逆になった数字が入っています。
ということで、今回は「逆にするとわかりやすくなる」という解法をご紹介します。

 

まずは、この問題をご覧ください。

 

問題
 
底面積が300㎠の直方体の形をした水そうに、10㎝の深さまで水が
入っています。ここに、底面積が50㎠で高さ16㎝の棒を、床に垂直になる
よう、水そうに入れていきます。

 

20200629_1

 

(1)棒を2本、水そうに入れると、水面の高さは何㎝になりますか。
(2)棒を3本、水そうに入れると、水面の高さは何㎝になりますか。

 

 

この「水の入った水そうに棒を入れる」問題は、いろいろな解法があります。
一つは、棒が押し出した水が移動して、何㎝高さが増えるかを考えるもの。
もう一つは、変化しない水の体積を考えるものです。
今回は水の体積を使って解きます。
ただし、どちらの解法を使うとしても、この手の問題を解くには図が必要。
ここで、今回のポイント!図は順逆自在の術で描こうです。

 

順逆自在の術とはどういうことか?
水そうに入ったものは、①水➡②棒 の順番ですが、
これを、①棒➡②水、というふうに入れ替えるわけです。
結果として、水そうの中に入っているものは同じなので、水面の高さも同じ
ことになります。この逆転の作図の良い所は、水面の高さがよくわからなく
ても、簡単に描けるということです。

 

20200629_2

 

では、(1)を解説していきます。

 

<STEP1> 水の量を求める
底面積が300㎠・高さ10㎝の直方体の体積になりますので、
300×10=3000㎤です。

 

<STEP2> 空の水そうに棒を入れる
先に棒を入れます。図は水そうを正面から見た図にします。
また、見やすくするため棒は端に寄せておきます。

 

20200629_3

 

<STEP3> 棒の高さの所に点線を書き、点線より下の部分の体積を求める
棒の高さが16㎝なので、16㎝のところに点線を書きます。
ここより下は、棒の底面積だけ水が入りませんので、水が入る部分の面積は
300-100=200㎠になります。
したがって、下の部分の体積は200×16=3200㎤と求まります。

 

20200629_4

 

<STEP4> 水面が棒より上か下かを判断する
水の体積と、STEP3の体積を比べ、
水の体積が小さい➡水面は棒よりも下にくる➡STEP5-1へ
水の体積が大きい➡水面は棒よりも上にくる➡STEP5-2へ

 

<STEP5-1> 水面が下の場合
この場合、水が入る部分の底面積は一定になりますので、
3000÷200=15㎝ これが水面の高さになります。
したがって、(1)の答えは15㎝です。

 

(2)の場合も考えてみましょう。
STEP1は同じ3000㎤
STEP2は下のようになります。

 

20200629_5

 

STEP3は、水が入る部分の面積が、300-50×3=150㎠となりますので、
150×16=2400㎤と求まります。

 

20200629_6

 

STEP4は、水のほうが体積が大きいため、水面が棒より上、となり、
STEP5-2へ移ります。

 

<STEP5-2>水面が上の場合
STEP3で求めた体積を超えた水が、棒の上に入ります。このときの面積は
水そうと同じ面積になります。

 

20200629_7

 

3000-2400=600
600÷300=2
つまり、棒の上に2㎝水が入ることになりますので、水面の高さは、
16+2=18㎝と求まります。

 

いかがでしたか。順逆自在の術。
この技は、棒が底面についていない下のような場合でも、問題が解きやすく
なります。

 

20200629_8

 

順逆自在の術には、立体図形でも使えたりします。次回は、そちらを
ご紹介いたします。お楽しみに!

 

算数ドクター