はじめに

受験Dr.の亀井章三です。
いつも「開成・筑駒・灘中！すべて合格大作戦！」をお読みいただきありがとうございます。
今回は、いつもの形式を離れた特別編！６月12日（日）に実施された「第25回算数オリンピックトライアル」の問題を１問ずつわかりやすく解説してまいります。

本連載では、いつも応用問題を解くために必要な「解法ポイント」というものをご紹介しています。
今回のトライアル問題を解いていくうえでも、もちろんこの「解法ポイント」を使っていくことで簡単に解いていくことができますので、たくさん「解法ポイント」をご紹介してまいります。

第４問も算数オリンピックではよく出題される「数字の組み合わせ問題」です。
また、この問題のようにてんびんを用いて大小関係を考える出題も過去ありました。

＜解説＞
まず、すぐにわかるのは①が一番軽い１ｇで、3が一番重い９ｇである、ということです。
【ポイントNo.６】「最小・最大から調べていく」

次に考えるのは２番目に軽い２ｇと２番目に重い８ｇは、どの記号なのか？ということです。
２ｇは②か、８ｇはか２になりますので、４通り考えられます。
ということで、
【ポイントNo.４】「候補が５個以下になったら調べの作業」
のポイントにしたがい、４通りに分けて考えていきます。
また、どの重さを使ったかがわかるように表にして調べることにします。

（１）②＝２ｇ、２＝８ｇの場合

最初のてんびんから、
＋８ｇ＝＋２ｇということがわかり、
との差が６ｇになります。
しかし、残っている３ｇ～７ｇのおもりの中で、差が６ｇになる組み合わせはありません。
したがってこの場合はあり得ません。

（２）＝２ｇ、＝８ｇの場合

最初のてんびんから、
２ｇ＋２＝８ｇ＋②ということがわかり、
２と②の差が６ｇになります。
これも先ほどの場合と同じで、残りのおもりの中に条件を満たすものはありませんので、やはりダメです。

（３）＝２ｇ、２＝８ｇの場合

最初のてんびんから、
２ｇ＋８ｇ＝＋②ということがわかります。
これを満たすのは、（②、）＝（３ｇ、７ｇ）（４ｇ、６ｇ）
のどちらかです。

（ア）②＝３ｇ、＝７ｇの場合

２番目のてんびんから、
７ｇ＋③＞＋９ｇ　となり、③がより３ｇ以上重いことになります。
しかし、残り４～６ｇのおもりの中にこの条件を満たすものはありません。
これはダメです。

（イ）②＝４ｇ、＝６ｇの場合
③は５ｇということになります。

しかし、にあてはまるおもりがないため、これはダメです。
これも先ほどの場合と同じで、残りのおもりの中に条件を満たすものはありませんので、やはりダメです。

（４）②＝２ｇ、＝８ｇの場合

最初のてんびんから、
＋２＝８ｇ＋２ｇ　いうことがわかります。
これを満たすのは、（、２）＝（４ｇ、６ｇ）（３ｇ、７ｇ）
のどちらかです。

（ウ）＝４ｇ、２＝６ｇの場合

残りのおもりも、③＝３ｇ、＝５ｇ、１＝７ｇと決まります。
しかし、これは３番目のてんびんの条件に合いませんのでダメです。

（エ）＝３ｇ、２＝７ｇの場合

２番目のてんびんより、８ｇ＋③＞＋９ｇ　となり、
③がより２ｇ以上重いことになります。
残り４～６ｇのおもりの中でこの条件を満たすものは、③＝６ｇ、＝４ｇとなります。
残りの1＝５ｇも決まります。
そして、３番目のてんびんにあてはめてみると、
８ｇ＋５ｇ＝７ｇ＋６ｇとなり、すべての条件を満たす答えが見つかりました。

答え　①＝１ｇ、②＝２ｇ、③＝６ｇ
１＝５ｇ、２＝７ｇ、３＝９ｇ
＝３ｇ、＝４ｇ、＝８ｇ

問題５は一見複雑そうにみえますが、条件を整理していく「消去算」です。
入試問題にも近く解きやすかったのではないでしょうか。

＜解説＞
動いた道のりを、記号を使って式にします。
【ポイントNo.１】「記号・文字を使って問題文を式に表す」
下のように、それぞれの道にア～ウとあ～うの記号をつけます。

Ａ地点からＢ地点までの道のりは、
ウ＋う＋イ＋い＋あ
Ｂ地点からＣ地点までの道のりは、
あ＋い＋イ＋う＋ウ＋ウ＋う＋イ＋い
となります。これらを整理しますと、

また、この式をＡ地点からＢ地点までの道のりの式に代入して、あ＝100ｍ、となります。

一方、Ｂ地点からＣ地点までの道のりは、
ア＋ア＋い＋イ＋う＋ウ　と表せます。
これは、ア×２＋（い＋う＋イ＋ウ）となり、先ほどの式から
ア×２＋1200ｍ　となります。
アは半径が「あ」の円周を８等分した長さです。
よって、ア×２＝100×２×3.14÷８×２＝157ｍ
157＋1200＝1357となります。

答え　１３５７ｍ

この問題６は、今回のトライアルの中で一番難しかった問題と思われます。
条件を考える力・丁寧に調べていく力の両方必要とします。

＜解説＞
（問い１）くり上がりが起こるという条件を考えることがポイントです。そこで、
【ポイントNo.７】「条件の裏を読み取る」
を使います。
ある位のたし算をするときに、答えが10以上になるとくり上がってしまいます。
したがって、和が10以上になる数字を、１～9999の中からどんどん外していきます。
調べるときは、
【ポイントNo.６】「最小・最大から調べていく」
を使います。

まず１を選ぶと、「一の位が９の数字」は全てくり上がりが起こってしまいますので、もう選ぶことができません。
次に２を選ぶと、「一の位が８の数字」もダメです。
以下、３を選ぶ⇒「一の位が７の数字」がダメ
   ４を選ぶ⇒「一の位が６の数字」がダメ
   ５を選ぶ⇒「一の位が５の数字」がダメ
となります。
このあと６～９はもう選べないので、次は10を選ぶことになります。
この場合、一の位には制約はありませんが、「十の位が９の数字」がもう選べなくなります。
11～14を選んでも問題はありません。
15～19は選べません。したがって、次は20になります。
20～24を選ぶと「十の位が８の数字」が選べなくなります。
以下、30～34を選ぶ⇒「十の位が７の数字」がダメ
   40～44を選ぶ⇒「十の位が６の数字」がダメ
   50を選ぶ⇒「十の位が５の数字」がダメ
これにより、51～99を選ぶことはできません。

次は100になります。100を選ぶと、「百の位が９の数字」を選ぶことができなくなります。
そのあとは、101～104、110～114、120～124、130～134、140～144を選ぶことができます。
以下、200を選ぶ⇒「百の位が８の数字」がダメ
   300を選ぶ⇒「百の位が７の数字」がダメ
   400を選ぶ⇒「百の位が６の数字」がダメ
   500を選ぶ⇒「百の位が５の数字」がダメ
これにより、501～999を選ぶことはできません。

次は1000になります。
1000を選ぶと、「千の位が９の数字」を選ぶことができなくなります。
そのあとは、1001～1004、1010～1014、1020～1024、1030～1034、1040～1044、1050、1100～1104、1110～1114、1120～1124、1130～1134、1140～1144、1200～1204、1210～1214、1220～1224、1230～1234、1240～1244、1300～1304、1310～1314、1320～1324、1330～1334、1340～1344、1400～1404、1410～1414、1420～1424、1430～1434、1440～1444を選ぶことができます。
以下、2000を選ぶ⇒「千の位が８の数字」がダメ
   3000を選ぶ⇒「千の位が７の数字」がダメ
   4000を選ぶ⇒「千の位が６の数字」がダメ
   5000を選ぶ⇒「千の位が５の数字」がダメ
これにより、5001～9999を選ぶことはできません。

以上をまとめますと、
１ケタの数　１～５の５個
２ケタの数　５×４＋１＝21個
３ケタの数　25×４＋１＝101個
４ケタの数　125×４＋１＝501個
したがって、５＋21＋101＋501＝628個になります。

（問い２）
考え方は問い１と同じです。今度は9999から考えてみましょう。
まず9999を選びます。他のどの数字を選んでもくり下がりは起こりません。
次に9998を選ぶと、「一の位が９の数字」が選べなくなります。
たとえば、9998－9989をすると、一の位のところでくり下がりが置きます。
以下、9997を選ぶ⇒「一の位が８の数字」がダメ
   9996を選ぶ⇒「一の位が７の数字」がダメ
   9995を選ぶ⇒「一の位が６の数字」がダメ
   9994を選ぶ⇒「一の位が５の数字」がダメ
   9993を選ぶ⇒「一の位が４の数字」がダメ
   9992を選ぶ⇒「一の位が３の数字」がダメ
   9991を選ぶ⇒「一の位が２の数字」がダメ
   9990を選ぶ⇒「一の位が１の数字」がダメ
となります。

次に選べるのは9980です。
この数字を選ぶと「十の位が９の数字」もダメになります。（9980－9890のように）
以下、9970を選ぶ⇒「十の位が８の数字」がダメ
   9960を選ぶ⇒「十の位が７の数字」がダメ
   9950を選ぶ⇒「十の位が６の数字」がダメ
   9940を選ぶ⇒「十の位が５の数字」がダメ
   9930を選ぶ⇒「十の位が４の数字」がダメ
   9920を選ぶ⇒「十の位が３の数字」がダメ
   9910を選ぶ⇒「十の位が２の数字」がダメ
   9900を選ぶ⇒「十の位が１の数字」がダメ
となります。

次に選べるのは9800です。
この数字を選ぶと「百の位が９の数字」もダメになります。（9800－8900のように）
以下、9700を選ぶ⇒「百の位が８の数字」がダメ
   9600を選ぶ⇒「百の位が７の数字」がダメ
   9500を選ぶ⇒「百の位が６の数字」がダメ
   9400を選ぶ⇒「百の位が５の数字」がダメ
   9300を選ぶ⇒「百の位が４の数字」がダメ
   9200を選ぶ⇒「百の位が３の数字」がダメ
   9100を選ぶ⇒「百の位が２の数字」がダメ
   9000を選ぶ⇒「百の位が１の数字」がダメ
となります。

次に選べるのは9000です。あとは、8000、7000、…、2000、1000と選ぶことができて終わります。
したがって、選ぶことができる数は、
9999～9990、9980、9970、9960、9950、9940、9930、9920、9910、9900、9800、9700、9600、9500、9400、9300、9200、9100、9000、8000、7000、6000、5000、4000、3000、2000、1000の36個が最大となります。

なお、１から調べていった場合も同じ答えになります。
この場合選べる36個は、
１～９、19、29、39、49、59、69、79、89、99、199、299、399、499、599、699、799、899、999、1999、2999、3999、4999、5999、6999、7999、8999、9999になります。

答え　（問い１）６２８個
（問い２）３６個