最新記事 2017年10月16日

テーマ: 算数

円の相似を利用した面積の計算

こんにちは。
算数科の司馬慶二です。

今回のテーマは「円の相似を利用した面積の計算」です。

相似と言えば三角形がおなじみですが、もちろんいろいろな図形に相似形は存在します。
その中で、今回は円の相似に関するテーマを取り上げます。
意外と「こういう発想がなかった。」と思われるかもしれませんよ⁉

それでは、早速見ていきましょう。
円はすべて相似なので、相似比と面積比について考えてみます。

下図のような半径1と2の円の面積比はいくつになるでしょうか?
相似を学習している方なら簡単だと思いますが、相似比(辺の長さの比)が1:2なので、
面積比は(1×1):(2×2)= 1:4 となります。

円の相似 1

相似比と面積比の関係は上記の通り、比を2回かけたものになります。

これは長方形のような四角形でも、「たて×よこ」で面積が決定される「2次元」の世界では共通事項です。

つまり、面積の大きさを具体的な図にすると下図のようになります。
半径1の円4つ分が、半径2の円の面積と同じになるわけです。

円の相似 2

ということは、正方形の中にピッタリと接している円の面積について下図のような関係になります。

円の相似 3

半径が1:3なら、半径1の円9個分の面積と半径3の円の面積が等しいことになります。

円の相似 4

ちなみに、円の面積について上記のような関係が成り立つということは、
正方形から円をひいた下図の斜線部も面積が等しいということになります。

円の相似 5

さて、これまで見てきた内容を使って、次の問題を考えてみてください。

〔問1〕 下図の中にある15個の円の面積の和を求めなさい。

円の相似 6

これをノーヒントで解くと、おそらく次のような式で解くのではないでしょうか?

円の相似 7

半径 ㎝の円が12個、半径 ㎝の円が2個、半径 ㎝の円が1個なので、

途中で約分しないで計算すればできなくはない問題だとは思いますが、意外と面倒ですね。

では、今日のテーマの通りに置き換えてみましょう。
もう一度書きますが、下図の通りでしたね。

円の相似 8

したがって、問1の問題は下図のように変形できます。

円の相似 9

円の相似 10

円の相似 11

円の相似 12

つまり、15個の円の面積の和は半径5㎝の円の面積と等しいということになるので、
求める面積の和は、5×5×3.14=78.5㎠ となるわけです。

いかがでしたか?
単純な図形にもまだ工夫の余地がありそうですね。

それではまたお会いしましょう。