最新記事 2018年12月06日

テーマ: 算数

よく見かけますね、この展開図!(後編)

みなさん、こんにちは。
受験ドクターの坂井です。

さあ、今年も残すところ1か月を切りました。!
そして、2月1日まで60日を切りました。!!
入試に向けて緊張感も一層高まって、志望校合格に向けて一生懸命
頑張っていることでしょう。

受験ドクターの先生たちは
そんな君たちを
最後の最後までサポートしていきます!!!

強い気持ちをもって、そして何より体調に気を付けて
最後まで一緒に頑張っていきましょう!!!

今回のお話は、前回の続編のお話です。

下の展開図、よく見かけますよね。
前回は、この展開図を組み立てたときにできる立体や
展開図の中にある二等辺三角形の面積などについて
お話しました。

よく見かけますね(後半)01

この展開図は立体の切断というテーマにも登場してきます。
今回は、この展開図が「立体の切断」にどのように登場してくるのかを
お話します。
【立体の切断にも登場① 】
立方体を青い線を切り口として切断します。

よく見かけますね(後半)02

この切り口の二等辺三角形の面積が求められない・・・と悩んでしまう
受験生が多いのです。

出題としては、次のような感じです。
もっとたくさん切断されてしまいますが・・・。
問題
青い線で立方体を4 か所切断します。残った立体の
表面積を求なさい。

よく見かけますね(後半)03

実はこれも冒頭の展開図で考えてみるとよくわかります。

立方体の色のついた部分の面積は右図の展開図の色のついた部分に対応しています。
つまり立方体で色がついている部分の面積は正方形の面積と等しいことがわかります。

よく見かけますね(後半)04

4 か所切断されて残った立体の表面積は、
色がついた部分が側面に4 つ分と、底面(下)に正方形が1 つありますので、
全部で正方形の面積が5 つ分となることがわかると思います。
立方体の1 辺の長さが6㎝だとすると、表面積は

6 ㎝×6 ㎝×5=180 ㎠ であることがわかります。
【立体の切断にも登場② 】
立体の切断の問題でよく見る切断の形です。
切断された点O を含む立体のの体積を求めなさい
という問題はよく出題されるので見慣れている受験生は
多いと思います。

images05

ちなみに、体積を求めるときはどのように
考えるんでしたっけ?
そうです。QR, PS, OT を伸ばすんですよね。
そうすると右の図のような大きな三角すい(U-OPQ)が
できるので、その三角すいから小さな三角すい(U-TSR)
を取り除けば求められますね。

よく見かけますね(後半)06

まあ、体積のお話はここまでにして、
いま考えていただきたいのは、
切り口である四角形PQRS の面積なのです。

切り口の形は台形(等脚台形)です。
みなさん、この切り口の台形の面積は求められますか?

もちろん台形の上底、下底、高さの長さがわかっていれば
簡単に求められますが、それぞれの長さは計算で求められないから
困ったものです。
では、どうやって求めましょう?
実は、ここで利用するのが例の展開図なのです。
これを組み立てた立体が先ほどの大きい三角すい(U-OPQ)と
同じ形になっているので中央部分(三角形OPQ)が展開図全体の8分の3、
求める台形の面積はさらにその4分の3であるから、

よく見かけますね(後半)07 となります。(下の図)

よく見かけますね(後半)08

最後に問題を1 題。
ぜひ解いてみてください。
【立体の切断にも登場①】の考え方で1分以内
答えを出してみてください。
【問題】
右の図は直方体で、赤い点はいずれも辺の真ん中
書いてあります。
8 個の角を図のように切断します。
残った立体の表面積を求めなさい。

よく見かけますね(後半)09
【解答】
立体の表面積は、下図の正方形の面積が8 つ分になるので、
12×12×8=1152㎠

よく見かけますね(後半)10

どうでしたか。1 分以内に解けましたか?

では、みなさん
またお会いしましょう。