「基本を考えよう」の今回は「円の面積」です。
円周の長さはなぜ 半径×２×円周率？
円周は何故、 「半径 × ２ × 円周率」 なんでしょう？
こんな疑問を持ったことはありませんか？
ないでしょう(笑)。円周とはそういうものなのだ、と無意識に
思っていませんか？
下の図を見て下さい。
このように円に内接する正六角形を考えます。
直線ＡＢ と 弧ＡＢ はほぼ同じ長さと考えます。角ＡＯＢは６０°、
三角形ＯＡＢは正三角形ですから、
直線ＡＢ＝半径＝弧ＡＢ
になります。
弧ＡＣは弧ＡＢの２倍ですから
弧ＡＣ＝半径×２
です。さらに、円周は 弧ＡＣ の３倍ですから、
円周＝半径×２×３
になります。この”３”が円周率です。角ＡＯＢをどんどん小さく
してゆけば、この”３”は”３．１４”に近くなります。
よって、
円周＝半径×２×円周率
になるわけです。
円の面積はなぜ 半径×半径×円周率？
では、円の面積はどうでしょう？
面積と言うのは基本的に
面積＝底辺×高さ
です。三角形は”÷２”が加わりますが、基本的には同じです。
では、なぜ円の面積は ”底辺×高さ”ではないのでしょうか？
いえいえ、実は円の面積も、”底辺×高さ” なのです。
下図を見て下さい。円がバームクーヘンやトイレットペーパーの
ように層になってると考えます。
これを黒い縦の実線のところで、切って左右に広げます。
そうすると円は、円周を底辺、半径を高さ、とする三角形になり
ます。
面積は
面積＝円周×半径÷２
円周を 半径×２×円周率 とすると
面積＝半径×２×円周率×半径÷２
＝半径×半径×円周率
になります。
扇形も同じです。
上図のように扇形も三角形に変形し、
面積＝弧×半径÷２
で求められます。弧は半径×２×円周率×中心角／３６０°です
から
面積＝半径×２×円周率×中心角／３６０°×半径÷２
＝半径×半径×円周率×中心角／３６０°
になります。
この考え方で下記の問題が解けます。
図１、図２の面積を求めなさい
■図１の面積
これは上記で見たとおり、
扇形の面積＝弧×半径÷２
ですから
１１×１０÷２＝５５ 答 ５５ｃｍ2
■図２の面積
これも同じように変形して考えます。
上図のように変形すると、台形になります。
つまり、
（６＋１２）×５÷２＝４５ 答 ４５ｃｍ2
になります。
「基本を考えよう」今回は「円の面積」でした。
