みなさん、こんにちは。受験ドクターの亀井章三です。
算数の文章題で、主に和と差を使って考える文章題はいろいろ
あります。その中でも、結構お子様が苦手としているのが「差集め算」
過不足算とも言ったりします。
いろいろ設定を変えることで難しくできるため、難関校でも出題さ
れる文章題です。
今回は、そんな差集め算を簡単に解いていくための大切なポイント
「３つそろえる」についてお話ししていきたいと思います。
＜差集め算とは？＞
たとえば、このような問題です。
みかんが何個かあります。これをクラスの生徒全員に４個ずつ
配ると２０個余りますが、５個ずつ配るには１０個足りません。
みかんは何個ありますか。
４個ずつと５個ずつという２つの配り方に対して、２０個余りと
１０個不足という過不足が生じているのが特徴です。
この問題の解き方の一つは、
４個ずつ配り終わったあと、みんなが５個ずつ持っている状態にする
には、「さらに１個ずつ追加で配っていく」と考えることです。
みんなに１個ずつ追加で配るには、余った２０個では足りず、あと
１０個必要だということになります。
つまり、２０＋１０＝３０個あれば、全員に１個ずつ配れる
というわけです。
したがって、生徒の数は３０÷（５－４）＝３０人となり、
みかんの数は、３０×４＋２０＝１４０個となります。
このように、追加で配るのに必要な個数を考えるのが解き方
ですが、そのためには「３つのものがそろっている」ことが条件
になります。
＜ ① 人数をそろえる＞
まずは、配る人数をそろえるということです。
次の問題を見てみましょう。
みかんが何個かあります。これをクラスの生徒全員に４個ずつ
配ると２０個余る予定でした。ところが、４人の生徒が休んだた
め、１人６個ずつ配ったところ１６個足りなくなりました。
みかんは何個ありますか。
４個ずつ配るときと、６個ずつ配るときとで人数が違っています。
したがって、このまま（２０＋１６）÷（６－４）とすることはできませ
ん。
そこで、「４人休まなかったら」として、人数をそろえます。
この４人にも６個ずつ配るので、さらに２４個のみかんが必要
です。したがって、誰も休まず全員に６個ずつ配るには、
１６＋２４＝４０個足りないことになります。
ここまで来たらあとは同じです。
（２０＋４０）÷（６－４）＝３０人
４×３０＋２０＝１４０個
配る人数や買った本数が違うときは、まず人数・本数をそろえ
ましょう。
＜ ② 個数をそろえる＞
次は、配る個数をそろえる、です。
みかんとりんごがあります。
みかんの個数はりんごの個数のちょうど２倍です。
りんごをクラスの生徒全員に３個ずつ配ったところ１０個余り
ました。
みかんをクラスの生徒全員に７個ずつ配ったところ１０個足り
なくなりました。
みかんは何個ありますか。
これは、人数は同じでも、もともとの配る個数が違っています。
このまま、（１０＋１０）÷（７－３）とはできません。
そこで個数をそろえます。その方法は、
りんごをもう１度同じ数用意し、もう１回３個ずつ配る
ということです。
そうすると、生徒は３×２＝６個ずつもらい、
１０×２＝２０個余ることになります。
まとめると
６個ずつ配ると２０個余る
７個ずつ配ると１０個足りない
となり、最初の公式が使えます。
（２０＋１０）÷（７－６）＝３０人
みかんの個数は、３０×７－１０＝２００個となります。
この例では、２倍という倍数関係を示しましたが、○○個多い
という「差の関係」でも同じように考えましょう。
＜ ③ 配り方をそろえる＞
最後は、配り方をそろえる、です。
みかんが何個かあります。これをクラスの生徒全員に４個ずつ
配ると１５個余る予定でした。
１人６個ずつ配ったところ最後の１人は３個しかもらえず、
１個ももらえなかった生徒が７人いました。
みかんは何個ありますか。
これは、６個ずつ配ったときに余りや不足は発生していません
が、もらってない子がいます。そこで、この子たちに配ることを考えます。
３個しかもらえていない子は、あと３個必要で、
１個ももらってない７人の子には、あと７×６＝４２個必要です。
したがって、全員に６個ずつ配るには３＋４２＝４５個不足してい
ることになります。
そうすると公式が使え、
（１５＋４５）÷（６－４）＝３０人
３０×４＋１５＝１３５個
となります。
このタイプの問題は、長椅子に座らせる形式でよく出題されます。
誰も座っていない長椅子にも生徒を座らせる、と考えましょう。
以上、「３つそろえる」ことが出来て初めて人数を求められます。
・人数をそろえる
・個数をそろえる
・配り方をそろえる
このポイントを使って、ぜひ応用問題にもチャレンジしてみて
ください。
