最新記事 2019年07月08日

テーマ: 算数

平均の問題を面積図で解くときのイメージ

みなさま、こんにちは。
受験ドクター算数科の林弘人(はやしひろと)です。

本日は、面積図についてお伝えしたいと思います。
面積図がはじめて登場するのは、どの塾でもだいたい4年生ごろで、場合によっては3年生で初めて習ったというお子さんもいらっしゃるかもしれません。

面積図を理解しないままに、塾で教えてもらったからといって、何となく使っているというお子さまも少なからずいらっしゃるのではないでしょうか。

このブログでは、「平均の問題を面積図で解くときのイメージ」をお伝えします。

<問題>
Aくんのこれまでの算数のテストの4回受けました。1回目から4回目までのテストの平均点が77点でした。5回のテストの平均点が80点以上になるには、5回目のテストで何点以上とればよいですか。

そもそも平均とは、「平らに均す(ならす)」ことを指します。
均すという表現は重要で、授業内では必ず使っていますが、意味が通じない場合もあるので、具体例を用いてわかりやすい表現に変えて説明することも重要です。

説明方法は一様ではいけません。
目の前の1人1人にとって適切な例えがあります。
このブログではあくまでもその一例としてご紹介します。

先ほどの、問題を面積図に表すと、下の図のようになります。

平均 面積図1

長方形のたてが平均点、横が回数です。
平均の面積図では、でこぼこしたところを平らに均すことを考えます。
イメージは「山をけずって、谷をうめる」です。

5回のテストの平均点が80点になるときを考えます。
面積図に、平らにならした状態を書き込みます。
すると、下の図のようになります。

平均 面積図2

ここからは、山という部分と谷という部分の面積が等しいことを利用して問題を解きます。
山と谷は、次の場所を指します。

平均 面積図3

飛び出しているところが山で、へこんでいるところが谷ですね。
谷が理解できない時は、「山と穴」などの表現でも良いかと思います。

この問題では谷、図の青色部分の面積を求めることが出来ます。
面積を求めるときは、長方形の面積の求め方を使えば良いです。
横は4、たてが80-77=3ですので、その面積は4×3=12です。
谷の面積が12であれば、山の面積も12です。
山、図の赤色部分の面積は12で横の長さが1、たての長さは12÷1=12です。
□は80+12=92ですから、5回目のテストは92点以上取らなければならないということが決まります。

このように、面積図を利用するときは、でこぼこした面積を平らに均し、山と谷の面積が等しい事を利用して問題を解きます。
山をけずって、谷に流しこんだらぴったりという様子をイメージしましょう。
今回は谷の面積を求めることが出来ましたが、問題によっては山の面積を求めることが出来たり、そもそも山も谷もどちらの面積も求めることが出来ない場合もあったりします。
共通部分を付け足したり、逆比を利用して問題を解く場合もありますが、今回は最も基本的な面積図の使い方をご紹介しました。

ちょっと物騒な表現ですが、「山をけずって、谷にうめる」ことを教えると、
「先生分かった!!山をけずって、谷にぶち込む!!ですね!」と目をキラキラさせて分かったことを伝えてくれるお子さんが必ずいます。

インパクトがあって良い表現だなと感心する一方、集団授業では使いづらい表現だなと感じます。
個別指導だからこそ、その子に響く表現や伝え方を惜しみなく実践できる。
個別指導の最大の強みはそこにあるのではないかと思っています。

次回、またお会いしましょう。