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投稿日:2016年07月06日

テーマ: 算数

ニュートン算を面積図で攻略!!

みなさん、こんにちは。受験ドクターのEです。
目で視る算数、今回はおなじみのニュートン算を取り上げます。

〈ニュートン算を面積図で??〉

ポンプで泉の水をすべてくみ出すのに、3台では20時間かかり、4台では10時間かかります。6台では何時間かかりますか。ただし泉の水は一定の割合でわき出てきます。

以前のブログで安部塾長も解説していたように、ニュートン算の解法は、大きく分けて4つあります。
1) 線分図で解く
2) 面積図で解く
3) グラフで解く
4) 式だけで解く
3)はごく少数派で、一般的には、1)線分図で解く か 4)式だけで解く ことが多いですね。
四谷大塚の予習シリーズも、基本的に線分図で解説しています。

では、面積図は使いづらいのでしょうか?
今回は面積図をこよなく愛する面積図ユーザーのために、
あえて、このニュートン算を面積図でアプローチしてみたいと思います。

最初に泉に入っていた水をかきます。

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後からわいてきた水を足します。

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もう一つの場面も同じように、横に「時間」を描きます。

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最初に入っていた水と後から湧いた水を、3台で20時間かかってくみ出すので

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このような図に表すことができます。
同じように、4台で10時間かかってくみ出す場面では、

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このように描くことができます。

ここで、2つの場面に共通な「はじめの水の量」に注目すると、
縦の長さの比は、横の長さ(時間)の逆比として求められます。

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先ほどまでの情報と、この情報をあわせます。

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縦の「差」に注目すると

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1時間あたりの湧き出る水の量は②で、 はじめの水の量は(20) と表すことができます。

「6台では何時間かかりますか?」という問題なので、ここまでで分かった情報も活用して
この場面を図にしてみます。

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と、いうことで5時間でくみ出すことができるとわかります。

ニュートン算を面積図でアプローチすると、仕事算や速さの面積図と同様に、
横軸を「時間専用」にして整理できますので、面積図に慣れているお子さんにとっては
使いこなせると結構強力な武器になります。

次の問題も見てみましょう。

先ほどの泉の水を、最初に3台で何時間かくみ出した後、途中から5台に増やしたところ、泉の水をすべてくみ出すのに8時間かかりました。ポンプを5台に増やしたのは、くみ出し始めて何時間後ですか。

図を描いてみます。斜線の部分、何に見えますか?

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そう、つるかめ算の形ですね。このように、面積図を活用すれば、
ニュートン算と別のテーマが融合、というタイプにも気づきやすくなる、というメリットがあります。
最後に、図の各部の意味をまとめておきますので、まとめとしてご参照ください。

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算数ドクター