【問　　題】

いまここに、直径1ｃｍの球形をした磁石(どの磁石にもＮ極とＳ極があります)と、
直径1ｃｍのガラスでできたビー玉をたくさん用意しました。これらをペットボトルに
同じ数だけ入れてふたをし、よくふって混ぜるとどのようになりますか。磁石を●、
ビー玉を○としたとき、下のア～エからもっとも適当なものを１つ選びなさい。

 

[麻布]

　　　【解答・解説】

この問題は麻布中学の入試からの抜粋で、水に物質が解けるということは

どういうことか、がテーマで、問題を解きながら理解し、最後は「なぜ、水と油は混ざらないのですか。

これまでの文や問いから考えて説明しなさい。」「食塩が水に溶ける理由と、

食塩が油に溶けない理由をそれぞれ説明しなさい。」という記述問題が出題されています。

今回の磁石とガラスのビー玉の問題をもとに、水に溶ける、溶けないとはどういうことかを説明してゆきます。

 

　　～問題の答え～

磁力があるものはひきつけあい、磁力がないものはひきつけあいません。ですから、

磁力のある者同士はまとまり、結果的に磁力のないものもまとまるようになります。

答．　イ

　　～水に溶けない、のも同じこと～

油は水に溶けません。なぜかを考えてみましょう。

水のつぶは、水素のつぶ２つと酸素のつぶ１つがくっついてできています。

上図のようにミッキーマウスのような形をしています。
また、

　　　　酸素は－極の電気
　　　　水素は＋極の電気

をそれぞれ持っています。つまり水は－極と＋極の電気を持っているわけです。

一方、
　　　油は電気を持っていません。

 

もうお気づきかと思いますが、上記の麻布中学の問題は水に溶けない場合の状態です。

水は電気を持ってひきつけあうので、麻布中学の問題のなかでは磁石の球にあたり、

油は電気を持っていないのでビー玉にあたります。

水同士は＋極と－極がひかれあってまとまり、その結果、

油だけでまとまり、水に溶けずに水と油は分かれてしまいます。

 

　　～食塩が水に溶けるのは～

食塩は塩化ナトリウムといいます。“塩化”は塩素のことです。

食塩は塩素のつぶ１つとナトリウムのつぶ１つがくっついたものです。

食塩は水に混ざると、塩素とナトリウムにわかれ、

塩素は－極の電気を持ち、ナトリウムは＋極の電気を持ちます。

　　　塩素は水の＋極のほうをひきつけ
　　　ナトリウムは水の－極のほうをひきつけます。

上図のように、食塩は非常に小さい塩素の粒とナトリウムのつぶにわかれ、

水のつぶの間に均一に入り込み、目に見えなくなってしまいます。

ですから水溶液は
　　　　透明で濃さはどこでも同じ

になるわけです。

次回の「自由が丘校　理科の問題」は5/24に問題掲示、5/31に解答掲示です。
お楽しみに。

円の面積の公式は半径×半径×3.14です。半径がわかれば円の面積をだすことが

できますが、半径の長さがわからなくても

 

半径×半径

 

の値がわかれば円の面積を出すことができます。今回はこれを使って問題を

解いてみましょう。実は中学入試に頻出です。

 

【問　題1】

 

図のように、半径４ｃｍで中心角９０度のおうぎ形の内側に、正方形があります。

さらに、この正方形の１辺を半径とする中心角９０度のおうぎ形をかきました。

図の斜線の部分の面積は何ｃｍ2ですか。ただし、円周率は3.14とします。

[洗足学園]

 

【解答・解説】

 

もとめる面積は正方形から小さいおうぎ形を引いた面積になります。

 

まず正方形の面積から出します。正方形の面積は１辺の長さがわからない場合、

よく使うのが

 

正方形　＝　対角線　×　対角線　÷　2

 

です。この問題では、正方形の対角線は、大きいおうぎ形の半径になりますから

 

４×４÷２＝８

 

になります。

では、小さいおうぎ形はどうでしょう。まず、小さいおうぎ形の半径を□ｃｍと

します。小さいおうぎ形の面積は　□　を使うと

 

小さいおうぎ形　＝　□　×　□　×　3.14　×　1/4

 

です。□がわからなくても、□×□がわかれば面積は求められます。

 

□×□はもちろん正方形の面積と同じですから、□×□＝８

 

小さいおうぎ形　＝　８　×　3.14　×　1/4　＝　6.28

 

斜線の面積　＝　８　－　6.28　＝　1.72

 

 

答　1.72ｃｍ2

 

 

 

 

【問　題２】

 

図のように、１辺の長さが３ｃｍの正方形の辺をそれぞれ３等分した点を

すべて通る円があります。この円の面積は何ｃｍ2ですか。

[豊島岡女子学園]

 

【解答・解説】

 

難しそうですが、基本は【問　題１】と同じです。【問　題１】でもわかるように、

円やおうぎ形の面積を求める場合、半径×半径　を求めればいいのです。

 

同じ長さ×同じ長さは正方形の面積ですから、円の面積が問われた時は、

円の外や中に正方形を作るように補助線を引くことを考えます。

 

この問題では下図のように正方形をつくり、求める円の半径を□とおきます。

 

 

 

正方形の対角線は　□×２　ですから、

 

正方形の面積　＝　□×２　×　□×２　÷　２　＝　□　×　□　×　２

 

次に正方形の面積を出します。下図のように方眼にそって

直角三角形４こと正方形に分けて求めます

 

 

正方形の面積　＝　２×１÷２　×　４　＋　１×１　＝　５

＝　□　×　□　×　２

 

□  ×　□　　＝　２．５

 

です。つまり円の面積は

２．５　×　３．１４　＝７．８５

 

答　　７．８５ｃｍ2

 

【問　　題】

図１のように「やじろべえ」を作り、ゆらしていました。
左右のおもりの大きさと重さは同じものとします。

次に「やじろべえ」の棒の広げ方や長さを変えて、
図２のような三種類の「やじろべえ」を作りました。

図１と比べて、図２(1)、(2)は、棒の長さは同じですが、広げ方がちがいます。
(3)は棒の広げ方は同じですが長さがちがいます。

図１の「やじろべえ」と比べて、図２の三種類の「やじろべえ」はそれぞれ、
どのような動き(ゆれ方)をするでしょうか。

次のア～エから選びなさい。

ア　はやくゆれる。
イ　ゆっくりとゆれる。
ウ　同じようにゆれる。
エ　バランスをくずしてうまくゆれない。

【解答・解説】

　　～★「重心」が重要

てこやてんびんなどの「つりあいの問題」は「重心」を考えることが
重要です。

「重心」とは

重さの中心となっている点
物体を一点で支えたときに、ちょうど釣り合う点

です。

つまり、もののつりあいを考える時、この「重心」がどこにあり、どのような
動きをするのか、がわかればいいことになります。

　　～★図１の「やじろべぇ」の重心は？

図１の「やじろべぇ」の重心は下図を見てください。支点の真下、おもりより
少し下にあります。

　　～★　図２(1)の「やじろべぇ」の重心

図２(1)の「やじろべぇ」の重心は下図のように、支点より上にあります。

重心が支点より上にあるとき、「やじろべぇ」はどのような動きをする
のでしょうか。

コマを考えてみましょう。

 

コマは上図のように重心が支点よりも上にあります。うまくやれば、

まっすぐ立つこともありますが、ちょっとしたゆれで、すぐ倒れてしまいます。

つまり、重心が支点よりも上にあると、不安定で倒れてしまうのです。

答．(1)　エ

 

　　～★　図２(3)の「やじろべぇ」のゆれ

まず、図１を左右にゆらしてみましょう。

上の図から「やじろべぇ」を消して、支点と重心の動きだけを示したのが
下の図です。

図１と図２(3)を比べて見ましょう。

図２(3)は図１のうでを伸ばしただけですので、図１と図２(3)の動きの違いは
「ふりこの運動」を考えることによって、理解することができます。

「ふりこの運動」はの周期(おもりが往復するのにかかる時間)は、おもりの
重さや振幅に関係なく、ふりこの長さに影響されます。

下の表のように、ふりこの長さを４倍にすると周期は２倍、９倍にすると
周期は３倍になります。

つまり、同じ角度を動く時間は、ふりこの長さが長ければ長いほど多く
かかり、ゆっくりうごくわけです。

答．(2)　イ

 

　　～★　図２(2)の「やじろべぇ」のゆれ

図２(2)は図１と比べる時に「ふりこの運動」で考えることができません。
支点から重心までの長さが同じでも、「やじろべぇ」のうでの開きの角度や
おもりの重さが異なれば、動きは変わってきます。

この点が「ふりこの動き」と「やじろべぇ」と違う点です。

図１と図２(2)の動きの違いは、回転力で考えます。

下図のように、「やじろべぇ」の回転力を考える場合、てんびんにおきかえて
みます。

回転力＝支点からの距離×おもりの重さ

です。

「やじろべぇ」を傾けた時、左右の回転力の差が大きいほうが、はやく
ゆれます。

図１と図２(2)の回転力の差をみてみましょう。

図１において、支点からおもりまでの長さを4.5cmとして半円を描き、
10°右に傾けた時の回転力の差を計算してみます。

方眼紙に図を描いてみましょう。10°右に傾けた時の支点からの距離を
図ってみると数のようになります。

左(右回り)と右(左回り)の回転力は、おもりの重さを”１”とすると
それぞれ、

左(右回り)＝１．３　×　１　＝　１．３
右(左回り)＝２．１　×　１　＝　２．１

差は　２．１　－　１．３　＝　０．８

図２(2)はどうでしょう。

上の図のようになり、回転力を計算すると、

左(右回り)＝４．２　×　１　＝　４．２
右(左回り)＝４．７　×　１　＝　４．７

差は　４．７　－　４．２　＝　０．５

となり、図１は図２(2)より、元に戻ろうとする力が強く、はやく動きます。
つまり、図２(2)のよがゆっくり動きます。

答．(2)　イ

 

このように「やじろべぇ」は「ふりこの動き」と「てんびんの動き」などが
組み合わさった動きをします。

うでの長さや、うでの開きの角度、おもりの重さなどを変えた「やじろべぇ」を
つくってみて動きを観察すると面白いと思います。

　今回のポイント　～図を描く～ はじめてみる問題はお手上げでは入試に勝てません。 なんとかして解いてみよう、という姿勢とともに まず、「問題文通りに図を描いてみる」ことを 実践してみてください。   【問　　題

【問　　　題】 地球を球形と考えて、はじめて地球の大きさを求めたのは、 エラトステネスで、紀元前２３０年ころのことです。 夏至の日、シエネという都市では正午に太陽が真上(天頂)を 通り、シエネから９００ｋｍ真北にあるアレ

　　　今回のポイント　　　“１”変化させてみよう   【問　　題】 下図のような台形ＡＢＣＤがあります。Ｐは辺ＣＤ上の点です。 三角形ＡＢＰの面積が３０ｃｍ2のとき、ＣＰの長さは何ｃｍですか。 [桐朋2008年

　　【問　　　題】 地面から８ｍの深さまで掘った井戸があります。水は底から１ｍたまっています。 今、カエルがこの井戸に飛び込みました。飛び込んでから着水するまでどのくらいの時間がかかるでしょう。 ①　０．１秒　　②　０．

今日のポイント　　□×３＋□×２＝□×(３＋２)　を使いこなそう □×３＋□×２＝□×(３＋２)　は各学校の入試の小問などで解法の一部のよく使われる知識です。 □×３＋□×２＝□×(３＋２)　だけではなく、この逆である、

中学受験ドクター　自由が丘校では、教室にあるホワイトボードに、 毎週４教科の問題を掲載させて頂いております。   3/15(木)に掲載した理科の問題は次の通りです。     　　【問　　　題

今回の「基本を考えよう」は「相似」です。その中でも直角三角形を とりあげます。 　　★ 相似条件を知っておこう ★ 三角形の相似形というと、よく知られているのが下図でしょう。 直線ＢＣと直線ＤＥが平行の場合は、青い三角形