最新記事 2019年05月22日

テーマ: 算数

円とおうぎ形のオリジナル問題にチャレンジ!~解答篇~

みなさん、こんにちは。受験ドクター算数科の浅池 航祐です。

さて、前回こんな問題を出しましたね。

【問題】
下のようなA針とB針があります。

asaike001

A針は直線の形をしており、長さは12㎝です。B針は半円の形をしており、直径は12㎝です。
この2つの針を、半径が12㎝の円の中心に取り付け、時計を作ります。A針は時計の短針と同じ動きを、B針は時計の長針と同じ動きをします。下の図1は12時の状態を、図2は12時15分の状態を表しています。

asaike002

このとき、2つの針と時計の円周とで囲まれた部分の面積について考えていくことにします。(ただし、両針の先端についている矢印の部分は、面積を求める時には考えないものとします。)また、円周率は3.14とします。
(1)5時のとき、2つの針に囲まれた部分において、文字盤の3の数字が含まれる部分の面積を求めなさい。
(2)7時50分のとき、2つの針に囲まれた部分において、文字盤の9の数字が含まれる部分の面積を求めなさい。
(3)8時から9時の間で、2つの針に囲まれた部分が半径6㎝の半円と合同になる時刻を求めなさい。

今回は、その答え合わせをしましょう。
(1)まずは問題文の指示に従い、実際に時計の図を描いてみましょう。

asaike003

上図のようになり、文字盤の3を含むので右側の面積を求めることになります。時計の中心から文字盤の12に向かって直線を引いてみると、

asaike004

半径12㎝のおうぎ形から、半径6㎝の半円を引けば良いことが分かりますね!
よって、12×12×asa001×3.14-6×6×asa002×3.14=(60-18)×3.14=131.88㎠となります。

(2)引き続き、問題文の指示に従うと以下のようになります。

asaike007

7時「50分」ですので、短針の位置が文字盤の8の少し前にくることに注意しましょう!時計の中心から文字盤の10に向かって直線を引いてみると、

asaike008

半径6㎝の半円と、半径12㎝のおうぎ形を足せば良いことが分かりますね!おうぎ形ですが、A針(=短針)が1分で0.5°ずつ進むことを考えると、7:50から8時までは10分間なので0.5×10=5°、8時から10時までは30×2=60°あります。合計すると5+60=65°となり、円全体のasa003であることが分かります。
よって、6×6×asa002×3.14+12×12×asai003×3.14=(18+26)×3.14=138.16㎠となります。

(3)合同になるということは、2つの針に囲まれた部分の形が直径12㎝の半円=B針と同じ形になるということです!最も簡単な例は、下のような12時ぴったりの状態です。

asaike012

これは、A針の先端とB針の先端が重なった状態なので、B針を通常の時計と同じ長針と見立てると、長針と短針が重なった時刻であると言えます。
一見、複雑な情況であっても、
「よく見てみると何ということがなかった、通常の問題の考え方と一緒だった。」
ということは算数では往々にしてあることなんですね。
したがって、求めるのは8時から9時の間で下の状態…

asaike013

問題文を言い換えると
「(通常の時計算で)8時何分に時計の長針と短針が重なりますか?」
という典型的な問題に早変わりです!
よって、30×8÷(6-0.5)=240×asai001asai002となり、8時asai002分が答えとなります。
~本日のまとめ~
・これまでに目にしたことがないような設定の問題だとしても、そこに書いてある例をよく読んだり、場合によっては自分で簡単な例を書き出してみてルールを把握するようにする。
・合同とは、図形同士の形・大きさが同じであるということ。
・難しい設定の問題であったとしても、中身は普段から学習していることと同じ内容であることが多いので、根気強く考える癖をつけるようにする。

今回はここまで。
次回は、ふたたび今年の入試問題について触れていく予定です。

ではまた、お会いしましょう♪